TYT Matematik Hızlandırılmış Konu Anlatımı

TYT MATEMATİK

HIZLANDIRILMIŞ KONU ANLATIMI

Temel Kavramlar

Bu yazımda konumuz matematikte temel kavramlar. Rakam (Matematiğin Alfabesi): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.

10 tane rakamımız vardır ve sayıları yazmak için rakamları kullanırız. Rakamları Türkçedeki harflere benzetebiliriz. Nasıl harfleri kullanarak kelimeler oluşturuyorsak Matematikte de rakamları kullanarak sayıları oluştururuz. 

Sayı: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.

Sayı Kümeleri

1. Sayma Sayıları Kümesi: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, … } kümesine sayma sayıları denir ve bu kümenin her birine sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi “S” sembolü ile gösterilir.

2. Doğal Sayılar Kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, … } kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi “N” sembolü ile gösterilir.

3. Tam Sayılar Kümesi: { …,-3, -2, -1, 0,1, 2, 3,… } kümesine tam sayılar kümesi denir ve bu kümenin her bir elemanına tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir. Tam sayılar 3’e ayrılır.

a) Pozitif Tam Sayılar: Sıfırdan büyük (sıfırın sağında olan) sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir ve bu kümenin her bir elemanına pozitif tam sayı denir.Pozitif tam sayılar kümesi “Z⁺ sembolü ile gösterilir.

Z⁺ = {1, 2, 3, …… }

b) Negatif Tam Sayılar: Sıfırdan küçük (sıfırın solunda olan) sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir ve bu kümenin her bir elemanına negatif tam sayı denir.Negatif tam sayılar kümesi “Z^-” sembolü ile gösterilir.

Z^– = {…,-3, -2, -1 }

4. Rasyonel Sayılar: a ve b birer tam sayı ve b≠0 olsun. a/b şeklinde yazılabilen sayıların oluşturduğu kümeye rasyonel sayılar kümesi bu kümenin her bir elemanına rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi “Q” sembolü ile gösterilir.

5. İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayıların kümesine irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesinin her bir elemanına irrasyonel sayı denir. İrrasyonel sayılar kümesi “I” sembolü ile gösterilir.

6. Reel (Gerçek, Gerçel) Sayılar Kümesi: Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşmesiyle oluşan kümeye reel sayılar kümesi denir ve bu kümenin her bir elemanına reel sayı denir. Reel sayılar kümesi “R” sembolü ile gösterilir.

Tek ve Çift Tam Sayılar

·         Çift Tam Sayı: Birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından herhangi biri olan sayılara çift tam sayı denir.

·         “n” tam sayı olmak üzere çift tam sayıları “2n” ile gösterebiliriz. Çift tam sayılar kümesi

{………,-4,-2, 0, 2, 4,……….., 2n, …….. } şeklinde gösterilir.

·         Tek Tam Sayı: Birler basamağında 1, 3, 5, 7 rakamlarından herhangi biri olan sayılara tek tam sayı denir.

·         “n” tam sayı olmak üzere tek tam sayılar “2n-1” ile gösterebiliriz.

{…………,-5, -3, -1, 1, 3, 5, …….., 2n-1, …….. } şeklinde gösterilir.

Tek ve Çift Tam Sayılar Arasındaki İşlemler

Ç=Çift tam sayı , T=Tek tam sayı olmak üzere

1) İki çift tam sayının toplamı ve farkı daima çift tam sayıdır.

Ç + Ç = Ç, Ç- Ç = Ç dir.

2) İki tek tam sayının toplamı ve farkı daima çift tam sayıdır.

T + T = Ç, T- T = Ç dir.

3) Bir çift tam sayı ile bir tek tam sayının toplamı ve farkı daima tek tam sayıdır.

T + Ç = T, T- Ç= T dir.

4) İki veya daha fazla tam sayıdan en az biri çift tam sayı ise çarpımları daima çift tam sayıdır.

Ç . Ç = Ç

T . Ç = Ç dir.

5) İki veya daha fazla tek tam sayının çarpımı daima tek tam sayıdır.

T . T = T dir.

6) Tek tam sayıların veya çift tam sayıların bölümü için kesin yargılarda bulunulamaz.

·         Tek veya çift olma, tam sayılar için geçerlidir.

·         Rasyonel sayılara tek veya çift sayı denemez.

7) Çift tam sayıların bütün pozitif tam sayı kuvvetleri çift tam sayıdır.

n Є Z⁺ olmak üzere Ç⁺= Ç dir.

Uyarı: Çift sayıların kuvveti pozitif tam sayı olmalıdır. Çift sayıların kuvveti sıfır veya negatif olursa ifade çift sayı belirtmez.

Pozitif ve Negatif Tam Sayılar

·         Sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. x negatif sayı ise “x < 0” şeklinde gösterilir.

·         Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar denir. x pozitif sayı ise “x > 0” şeklinde gösterilir.

·         Sıfır pozitif veya negatif sayı değildir.

Pozitif Ve Negatif Sayılar Arasındaki İşlemler

1) Pozitif sayıların toplamı daima pozitiftir.

2) Negatif sayıların toplamı daima negatiftir.

3) Zıt işaretli sayıların toplamı için kesin bir yargıda bulunulamaz. Sonuç, sayısal değerce büyük olanın işaretini alır.

4) Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü daima pozitiftir.

5) Zıt işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü daima negatiftir.

6) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

n bir tam sayı x pozitif sayı olmak üzere daima pozitiftir.

Uyarı: Negatif sayıların çift kuvvetleri alınırken kuvvetin parantezin içinde veya dışında olmasına göre sonuç değişir.

Ardışık Sayılar

2. Ardışık Çift Tam sayılar

Aralarında iki fark olan ve art arda gelen çift sayılara ardışık çift tam sayılar denir. n çift tam sayı olmak üzere n, n+2, n+4,… şeklinde gösterilir.

3. Ardışık Tek Tam sayılar

Aralarında iki fark olan ve art arda gelen tek sayılara ardışık tek tam sayılar denir. n tek tam sayı olmak üzere n, n+2, n+4, n+6,… şeklinde gösterilir.

Not: Bir ardışık sayı dizisinde terimlerin toplamı ve terim sayısı biliniyor ise ortanca terim aşağıda verilen formül ile bulunabilir.

Ortanca terim= Terimlerin toplamı/Terim sayısı

Uyarı: Ardışık sayı dizisinde çift sayıda terim varsa (4 tane,6 tane,8 tane,12 tane… gibi) ortanca terim olmaz. Fakat ortanca terim varmış gibi düşünülerek işlem yapılır. Yazılacak ardışık sayılar bulunan değerden büyük ve küçük olacak biçimde eşit şekilde yazılır.

Not: Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı bulunurken;

Terim sayısı= (son terim – ilk terim/ artış miktarı)  +1

Sonlu Ardışık Sayıların Toplamı

Terim sayısı= (son terim – ilk terim/ artış miktarı)  +1

Ortanca sayı= (son terim + ilk terim)/2

Asal Sayılar

1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Asal sayılar; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, … şeklinde sıralanır.

Uyarı:

·         En küçük asal sayı 2 dir.

·         1 asal sayı değildir.

·         Negatif sayılar asal sayı değildir.

·         2 dışında çift olup aynı zamanda asal olan başka bir sayı yoktur.

Aralarında Asal Sayılar

1 den başka pozitif ortak böleni olmayan iki veya daha fazla sayıya aralarında asal sayı denir.

Uyarı:

·         Ardışık sayılar daima aralarında asaldır.

·         1 bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Basamak Kavramı

Sayı Çözümleme

Sayıların basamak değerleri toplamı şeklinde yazılmasına çözümleme denir. ABCDE beş basamaklı bir sayı olsun. Sayıyı nasıl bu şekilde yazabiliriz?

ABCDE = A.104+B.103+C.102+D.101+E.100

1.Dereceden Denklemler

Matematikçiler denklemi, bir şeyin başka bir şeye eşit olduğu durum olarak açıklar. Örneğin; “İki artı iki eşittir dört” dersek biz bir eşitlik oluşturmuş oluruz.

Denklem Çözme ile İlgili Bazı Hatırlatmalar

Denklem çözerken aşağıda yazacağım noktalara dikkat etmelisin:

Örneğin, 4x = 1 denklemi x = 1 – 4 şeklinde düşünülebiliyor, fakat bu yanlış bir yaklaşım. Çünkü x bilinmeyeni 4 ile çarpılmış durumdadır. Eşitliğin diğer tarafına 4’ü yalnız başına geçiremeyiz! Bu denklemde x bilinmeyenimiz her iki tarafı 4’e bölersek x= ¼ olacaktır. İşte bu kadar basit!

2x – 6 = 4 örneği gibi bir bilinmeyenli denklemleri çözerken de Eşitliğin Korunumu İlkesi sana yardımcı olacaktır. Eğer bilinmeyenleri tek başına bırakırsak kolayca x’in ne olduğunu bulabiliriz. O halde şöyle yapabiliriz: 2x-6 +6 = 4 +6 ifadesi yine denklemimize eşit olacaktır. Bu durumda 2x = 10 ifadesi karşımıza çıkar ve x bilinmeyeni x=5 olmuş olur.

Eşitsizlikler

Basitçe bu konuya  >,<  gibi sembollerin yorumlanması diyebiliriz. Örneğin a<b dediğimiz ifade aslında yorum olarak “a küçüktür b” demektir.

Mesela x’in bir tam sayı olduğunu düşünürsek , 2<x<8 bağıntısına bakarsak x={3,4,5,6,7} sayılarından herhangi biri olabilir. Şimdi bir de reel sayılar için bu durumu inceleyelim.

{x : a < x < b, x ∈R} kümesine, a ve b sayıları ile oluşturulan açık aralık denir ve (a, b) şeklinde gösterilir.

(a,b) = {x : a < x < b, x ∈R}

{x : a ≤ x ≤ b, x ∈R} kümesine, a ve b sayıları ile oluşturulan kapalı aralık denir ve [a, b] şeklinde gösterilir.

[a,b] = {x : a ≤ x ≤ b, x ∈R}

{x : a ≤ x < b, x ∈R} kümesine, a ve b sayıları ile oluşturulan yarı açık aralık denir ve [a, b) şeklinde gösterilir.

[a,b) = {x : a ≤ x < b, x ∈R}

Basit Eşitsizlikler Özellikleri

Sabit ifadeleri bir tarafa, bilinmeyen ifadelerimizi bir tarafa koyuyoruz. Herhangi bir ifade karşıya götürürken kendi işaretini değiştirir. Örneğin:

2x-8<x+4

2x-x < 8+4

x<12  den yani bu sayı 12 den küçük bir sayıdır.

Eşitlik her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, bu eşitlik yön değiştirmez.

Eşitlik her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, bu eşitlik yön değiştirir. Örneğin

a<b iken ve c<0 iken a.c>b.c’dir.

a ve b pozitif tam sayı ise bunların çarpmaya göre tersleri aşağıdaki gibi gösterilir:

Zıt işaretli sayılarda oluşan eşitsizliklerin çarpma işlemine

göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirmez.

Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa çıkarılamaz. Öncelikle eşitsizliklerden biri (-) ile çarpılarak toplamaya dönüştürülür.

Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa çarpılamaz. Çarpma yapılırken uç sınırlar birbiri ile çarpılarak en büyük ve en küçük değeri bulunur.

Bir sayının karesi eğer kendinden küçük ise bu sayı 0 ile 1 arasında demektir.

Mutlak Değer

Mutlak değer, bir sayının 0 sayısına olan uzaklığına denir.

Bu konuya dair 3 tane temel formülümüz var: 

• |x|= x , x > 0
• |x| = –x , x < 0
• |0| = 0

Diyelim ki |A– 2| = 1 şeklinde bir eşitlik var, A yerine hangi sayının geleceğini sormuşlar. A=? sorusuna karşılık olarak şöyle düşünelim, mutlak değerin içindeki ifade mutlak değerden 1 olarak çıkmış. Demek ki bu içteki ifade 1 ya da -1’e eşit olmalı.

1. olasılık: A-1=1’ dersek A sayısı 2 olur.

2. olasılığı hesaplamayı unutmamak gerekir. A-1=-1’den A sayısı 0 olur.

 Sonuç olarak A ifadesi 2 ya da 0 olabilir. İşte bir mutlak değer içeren eşitsizlik sorusunu çözmek için düşünülmesi gereken temel adımlar bu şekildedir. 

Üslü Sayılar

a tam sayısını n kere kendisi ile çarpma işlemi: a.a.a.a….a.a.a = an şeklinde gösterilir. an sayısı a’nın n. kuvveti veya a üssü n olarak okunur. 

1 sayısının tüm kuvvetleri 1’e eşittir. Örneğin 1¹⁹⁸=1

Pozitif tam sayıların, negatif tam sayıların ve rasyonel sayıların sıfırıncı kuvveti / üssü 1 dir. Örneğin 6⁰=100 belirsizdir.

0² =0.0=0 Sıfırın pozitif kuvvetleri 0’a eşittir.

Sıfırın negatif kuvvetleri tanımsızdır. Örneğin 0^-8 = Tanımsızdır.

−2⁴ ve (−2)⁴  birbirine eşit midir? −2⁴ demek 2’yi 4 kere çarp başına (−) koy demektir.   −2⁴ = − 2.2.2.2 = −16

• (Çift kuvvet parantez dışında değilse tabanın işareti aynı kalır.)

(−2)⁴ ise −2’yi 4 kere çarp demektir. (−2)⁴ = (−2).(−2).(−2).(−2) = +16

• Parantez dışındaki çift kuvvetler tabandaki eksiyi (-) yutar ve sonuç (+) olur.
• Tek kuvvetler tabanın işaretini değiştirmezler.

(−1)¹⁴⁵³ = −1, (−1)²⁰¹⁶ = +1

• −1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.

Negatif Üs Kuralı nedir?

Üslü Sayılar ve Sıralama

1’den büyük üslü sayılarda sıralama yapılırken, tabanlar eşitse, üssü büyük olan daha büyüktür. 1’den büyük üslü sayılarda sıralama yapılırken, üsler eşitse, tabanı büyük olan daha büyüktür.

Sıralama yapılırken ya üsler ya da tabanlar eşitlenir. Üssü negatif olan sayılarda tabanı takla attırdıktan sonra daha kolay sıralama yaparız.

Köklü Sayılar

Adı üstünde olduğu gibi, tam sayıların karesini aldığımızda elde ettiğimiz sayılara Tam Kare Sayılar diyoruz. Aşağıda siyahla yazılmış ve altı çizili sayılarımız bazı tam kare sayılarımızdır.

1²=1,     

2²=4 ,   

10²=100, 

15²=225, 

20²=400

Şimdi tersten bakalım. “Hangi aynı iki tam sayının çarpımı 4 eder?” diye sorsam, büyük ihtimalle 2 dersin. (2.2=4) İşte bu tip sayıları bulabilmek için Matematik’te bir sembolümüz var: √

√100=10 (“Hangi 2 aynı tam sayının çarpımı 100 yapar?” soruluyor.)

Bir de tam kare olmayan sayılar var. Mesela 90 gibi. 90 sayısını aynı 2 tam sayının çarpımı şeklinde yazamayız. Yine de √90’ı inceleyelim. Aynı iki tam sayıyı çarparak 90’ı elde etmeyi deneyebilirsin. İnceledikten sonra anlayacaksın ki bunu başaramayız. Peki hangi iki tam sayı arasında sence? Bunu öğrenmek için tam kare sayılara hakim olmamız gerek.

9² =81, 10²=100 (90 sayısı bu iki tam kare sayının arasında olduğundan √90 sayısı da 9 ile 10 arasında bir sayıdır. 

5√2 , 7√4 gibi sayıları sence nasıl kök içinde yazarız? Şimdi 5√2 için gösterelim. 5 kökün içine girerken karesi alınarak girer. Yani √5².2= √25.2= √50. Genellersek;

a√b= √a².b olarak girer. Örneğin 6√3 = √6².3 = √6.6.3 = √108 olur.

Dikkat: -4√2 sayısında, 4’ü kök içine alırken  (-)’yi dışarıda bırakıyoruz! Kök içi pozitif olmalıdır. (-) işareti kök içine girmez, dışarıda ve sayının başında durmalıdır. Şimdi sırada kök dışına çıkarma işlemi var. Kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırırız. Şimdi bir örnek ile anlamaya çalışalım: √48’i kök dışına çıkaralım.  Öncelikle 48’i çarpanlarına ayırıyorum. 48=2.2.2.2.3 şimdi aynı sayıdan 2 tane olanları kök dışına çıkaracağız. Bu ikili sayılar kök dışına çıkarken 1 tane olarak çıkar.  √48= √2.2.2.2.3 = 2.2√3 = 4√3

Köklü Sayılar ve Dört İşlem

Köklü sayılarda çarpma işlemi

√a .√b = √a.b şeklindedir. Birkaç tane örnek yapalım:

• √7. √4= √28  gibi.
• a√b .  c√d =  a.c√b.d
• 6√3 . 2√7= 6.2√3.7 = 12√21

Köklü sayılarda bölme işlemi

√a / √b =  √a/b  (Tek kök içinde yazılabilir.) Örnek olarak √70 / √10 = √7  

• 6√6 / 3√2 =  2√3 (6 ile 3 kendi arasında bölündü. √6 ile √2  kendi arasında bölündü.)

Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi.

a√b + c√b= (a+c)√b     ya da    a√b – c√b= (a-c) √b

Dikkat: 3√7 + 2√5 ≠ 5√12 (SAKIN YAPMA!)

• 4√6+2√6= 6√6
• 4√3-2√3=2√3

Toplama ve çıkarma işlemlerinde kök içlerinin aynı olması lazım. Eğer aynıysa, toplama ve çıkarma yaparken sadece kök dışındakileri toplarız ya da çıkartırız. Kök içi aynen kalmalı.

Çarpanlara Ayırma

Toplama veya çıkarma biçiminde verilen ifadeleri çarpım veya bölüm şeklinde yazma işlemine çarpanlara ayırma denir. Bu işlemi farklı şekillerde yapabiliriz:

Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Adı üzerinde ortak gördüğümüz harf veya sayı parantezine alınarak yapılır.

• Örnek: 3x+3y ifadesinde 3’ler ortaktır bu nedenle ifadeyi 3 parantezine alırız:

3.(x+y)=3x+3y

Gruplara Ayırma:

Bir diğer yöntem gruplara ayırmadır. İfadenin her teriminde ortak harf, terim veya sayı bulunuyorsa ifadeleri ikişerli, üçerli veya daha fazla sayıda gruplara ayırabiliriz.

• Örnek: ax+ay+bx+by=a.(x+y)+b.(x+y)= (x+y).(a+b)
• ax+ay+bx+by ifadesinde a’ların, b’lerin, x’lerin veya y’lerin ortaklığı kullanılarak paranteze alınabilir.

Çarpanlara ayırmada kullanabileceğin özdeşlikler:

Bu konuda işlem yaparken iki kare farkı, küpler toplamı / farkı gibi farklı özdeşliklerden faydalanabiliriz. Şimdi de bunlara göz atalım:

İki Kare Farkı:

İki kare farkı çarpanlara ayırmadaki en önemli özdeşliktir. Özdeşliği sözel olarak ifade edersek: iki sayının karelerinin farkı, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

• a²-b²= (a-b).(a+b) 

Çarpanlara Ayırma - İki kare farkının modellemesi

• ax²+bx+c İfadesinin Çarpanlarına Ayrılması: a=1 ise toplamları b, çarpımları c sayısını veren m ve n sayılarını bularak çarpanlarına ayırabiliriz.

ax²+bx+c=(x+m).(x+n)

• Eğer a 1’e eşit değilse, çarpımları ax² terimini veren sx ve tx ifadeleri bulunur. Sonrasında aynı şekilde c sayısını veren n ve m sayıları bulunur. Burada önemli nokta ifadeleri çapraz çarpıp topladığımız zaman ortadaki terimi bulabilmemiz. Ortadaki terimi elde ettikten sonra ayırdığımız ifadeleri yan yana toplar ve birbiri ile çarparız. Mantığını anladıktan sonra bol pratikle bu işlemi yapmak çok kolay olacak!

Tam Kare Açılımı:

Tam kare açılımı benim özellikle sevdiğim bir açılımdır. İlk öğrendiğim günden beri tekerleme gibi hafızama kazınmıştır. Hala soru çözerken “birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi” diye aklımdan geçiririm. Sen de birkaç soruda tekrarladıktan sonra benim gibi unutmayacaksın eminim.

• (a+b)²=a²+2ab+b²
• (a-b)²=a²-2ab+b²

Küp Açılımı:

(a + b)³ ve (a – b)³ ifadelerinin eşitlerini binom açılım yardımı ile de bulabiliriz. Yeri gelmişken binom açılımı da hatırlayalım:

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a – b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

İki Küp Farkı ve Toplamı:

• x³+y³=(x+y).(x²-xy+y²)
• x³-y³=(x-y). (x²+xy+y²)

Bölme-Bölünebilme

Yazımıza başlarken, bölünebilme konusunda faydalı olabilecek ipuçlarımıza geçmeden önce bölme konusunda hatırlamamız gereken birkaç maddemizi yazalım: 

Kalan, bölenden küçük olmalıdır. 

Kalan 0 ise bölünen sayımız, onu bölen sayı ile tam bölünür. Tam bölünmenin diğer anlamı kalansız bölünmedir. 

Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kurallarını incelerken, matematiğin örüntüsüne bir kez daha tanık olacağız. 3, 5, 7, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kuralları senin için sırasıyla burada! Bunlardan bazılarını keşfederken 100’lük tablo üzerinden devam edelim. 

3 ile bölünebilme: 

Sayıların rakamları toplamı 3’ün katı ise 3 ile kalansız bölünür. Rakamlar toplamının 3 ile bölümünden artan rakam kalandır.  Aşağıdaki tablodaki örüntünün sebebi sence nedir?

5 ile bölünebilme:

Birler basamağının son rakamı 5 ya da 0 ise, bu sayı 5 ile tam bölünür. Birler basamağının 5 ile bölümünden artan sayı, kalanı verir. 

9 ile bölünebilme:

9 ile bölünebilme kuralı için çok ilginç bir etkinliğimiz var, ellerimizi kullanarak sayıları nasıl 9’la çarpacağımızı gösteriyor:

Diyelim 4 çarpı 9’u bulmak istediniz. Sol elinizden başlayarak parmaklarınızı 1,2,3,4,… şeklinde numaralandırın. 4 çarpı 9’u bulmak için 4. parmağınızı kapatın. Sol tarafta 3, sağ tarafta ise 6 parmak kalacaktır. 3 ve 6, şimdi birleştirerek okuyalım,  36! Sonuca ulaştık.

10 ile bölünebilme:

Birler basamağı 0 olan sayı 10 ile tam bölünür. Birler basamağı, o sayının 10 ile bölümünden kalanını verir.

11 ile bölünebilme: 

Sayının rakamları sağdan sola doğru +,-,+,-, … işaretleri ile toplanır. Çıkan sonuç, kalanı verecektir.  

EBOB-EKOK

EBOB, En Büyük Ortak Bölen kavramının ve EKOK ise En Küçük Ortak Kat kavramının kısaltması olarak karşımıza çıkıyor. a ve b sayısının en büyük ortak böleni kısaca EBOB(a,b) ve en küçük ortak katı EKOK(a,b) şeklinde gösterilir. 

EBOB Özellikleri

a, b, c tamsayıları için c hem a’yı hem b’yi bölüyorsa c’ye a ile b’nin bir ortak böleni denebilir. Hem a’yı hem b’yi kalansız bölen birçok sayı bulabiliriz, bölme işlemi özelliklerini incelemek istersen Bölme Bölünebilme yazımızı inceleyebilirsin!

İşte seçtiğimiz bu iki sayıyı kalansız bölen sayıların en büyüğüne EBOB(a, b) denir. 

• c herhangi bir tamsayı olmak üzere; EBOB(c⋅a, c⋅b) = c⋅EBOB(a, b)’dir.
• EBOB(a/d, b/d) = 1 ise d = EBOB(a, b) olur.
• EBOB(a, b) = 1 ise a ve b’ye aralarında asal veya birbirine asal sayılar denir. 

EBOB(a, b) = EBOB(a, c) ise        

• EBOB(a²,b²) = EBOB(a²,c²) ve        
• EBOB(a, b) = EBOB(a, b, c) olur.
• EBOB(a, b, c) = EBOB(EBOB(a, b), EBOB(a, c))
• EBOB(a, b) = 1 ise EBOB(a², ab, b²) = 1 olur. 
• EBOB(a, b) = EBOB(–a, b) = EBOB(a, –b) = EBOB(–a, –b) 

EKOK Özellikleri

• a ve b sıfırdan farklı tamsayılar olsun. a ve b’nin en küçük pozitif ortak katına a ve b’nin en küçük ortak katı denir ve a ve b nin bir katı k ise EKOK(a, b) daima k’yı böler.
• a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; EBOB(a, b)⋅EKOK(a, b) = a⋅b’dir.

Önemli Formüller

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat konusu altında birçok soru tipi karşına çıkabilir. Sana bu farklı soru tiplerinde yararlı olacağına inandığım birkaç formül vereceğim. 

Eni ve boyu bilinen dikdörtgenleri bir araya getirerek bir kare oluşturman istenebilir. Kenarları a ve b olan dikdörtgenlerden bir kare oluşturabilmek için en az gerekli olan dikdörtgen sayısı aşağıdaki formülle bulunur. En az dikdörtgen derken göreceği gibi EKOK kullandık, fark ettin mi?

Küp oluşturmak için ise formülümüz biraz farklı. Farklı ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgen prizmaları bir araya getirerek bir küp oluşturmamız istenirse en az gerekli olan prizma sayısı aşağıdaki gibidir:

“Şekilde ebatları verilen dikdörtgen tarlaya eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.” cümlesiyle başlayan sorular hepimize tanıdık gelmiştir. İşte bu sorularda kilit formül şöyle: Eşit aralıklı olmak ve köşelere de gelmek koşuluyla gereken en az ağaç sayısı ise aşağıdaki gibi olur:

Tarlanın çevresi / Tarlanın kenarlarının ebobu

Oran Orantı

Oran ile orantının arasındaki farkı inceleyerek yazımıza başlayalım. İki veya daha fazla oranın eşitliğine “orantı” denir, oranda ise sadece iki çokluk (a ve b gibi) vardır. Yani:

Doğru Orantı ve Ters Orantı

Değişen iki çokluktan birinin herhangi iki değerinin oranı, diğerinin bunlara karşılık gelen değerlerinin oranına eşit ise; bu çokluklara doğru orantılı (ya da orantılı) çokluklar denir.

Doğru Orantı Grafikleri

Ters Orantı Grafikleri

Önemli bir nokta: 

x+y=1 ifadesinde sadece bu denklem verilerek x ve y’nin ters orantı içerdiği söylenemez. İki çokluktan birindeki artma ile diğerindeki azalma aynı miktarda olursa bu iki çokluk ters orantı oluşturur” demek doğru değildir, çünkü oran ve orantı buradaki toplamsal ilişkiyle oluşturulamaz. 🚨“y artarken x azalır, bu nedenle ters orantı var.” düşüncesi kavram kargaşasına yol açacaktır.

Denklem Çözme

Denklem Çözme, bize Problemler konusunda özellikle katkı sağlayan bir konudur. Bir denklemi çözünce o denklemin köklerini bulduğumuzu ya da kök bulunmadığını kanıtlamış oluruz. Peki “Denklem” ne demektir? Denklem kavramı Türk Dil Kurumuna göre 1. isim, matematik İçinde yer alan bazı niceliklere ancak uygun bir değer verildiği zaman sağlanabilen eşitlik, muadele. şeklinde tanımlanmıştır. Burada nicelikten kastedildiği şey ise bilinmeyen değerlerimizdir. Denklem Çözme konusunda bazı eşitlik ilkelerini inceleyip denklemlerde uygun değerleri nasıl bulduğumuzu keşfedeceğiz. 

Denklemleri Nasıl Okumalıyız?

Matematikçiler denklemi, bir şeyin başka bir şeye eşit olduğu durum olarak açıklar. Örneğin; “İki artı iki eşittir dört” dersek biz bir eşitlik oluşturmuş oluruz. Diophantus gibi birçok matematikçi de eşitliklerin bazı bilinmeyenler içerdikleri zaman denkleme dönüştüklerini vurgulamıştır. Bilinmeyenin varlığı eşitliğin “öyleyse budur” şeklindeki açık olan bir durumdan “öyleyse nedir?” ya da “ne zaman öyledir?” şeklindeki sorgulayıcı boyuta geçmesini sağlar. x+ 2 = 4 ifadesi bir denklemdir ve buradaki soru “Hangi sayıyla ikinin toplamı 4 eder?” şeklinde olup çözüm de “x=2 olduğunda denklem sağlanır. 

Eşitliğin Korunumu İlkesi

Eğer bir eşitliğin her iki tarafını aynı sayı ile toplarsak veya her iki taraftan aynı sayının çıkarırsak eşitliği bozmamız oluruz, ayrıca eşitliğin her iki tarafının aynı sayıyla çarpılması veya sıfırdan farklı olmak üzere aynı sayıya bölünmesi de eşitliğimizi bozmaz. Dengede olan bir terazinin her iki kefesine de aynı miktarda ağırlık ekleme ya da çıkarma şeklinde düşünebiliriz, bu durumda terazi yine dengede olacaktır. Bunu matematiksel olarak gösterelim. 

denklemleri sağlanır. 

Denklem Çözme ile İlgili Bazı Hatırlatmalar

Denklem çözerken aşağıda yazacağım noktalara dikkat etmelisin:

Örneğin, 4x = 1 denklemi x = 1 – 4 şeklinde düşünülebiliyor, fakat bu yanlış bir yaklaşım. Çünkü x bilinmeyeni 4 ile çarpılmış durumdadır. Eşitliğin diğer tarafına 4’ü yalnız başına geçiremeyiz! Bu denklemde x bilinmeyenimiz her iki tarafı 4’e bölersek x= ¼ olacaktır. İşte bu kadar basit!

2x – 6 = 4 örneği gibi bir bilinmeyenli denklemleri çözerken de Eşitliğin Korunumu İlkesi sana yardımcı olacaktır. Eğer bilinmeyenleri tek başına bırakırsak kolayca x’in ne olduğunu bulabiliriz. O halde şöyle yapabiliriz: 2x-6 +6 = 4 +6 ifadesi yine denklemimize eşit olacaktır. Bu durumda 2x = 10 ifadesi karşımıza çıkar ve x bilinmeyeni x=5 olmuş olur. Denklem çözmede pratik yapman için yazının sonuna faydalı bir etkinlik ekledim, linkten ulaşabilirsin. İyi çalışmalar!

Denklem Kurma

Denklem kurma problemlerinde yapmamız gereken bize verilen sözel ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmektir. Öncelikle basit cebirsel ifadeler ile başlayalım:

Cebirsel İfadeler

Bir sayının 5 fazlası:  x+5

Bir sayının 4 katı:  4y

Bir sayının 3 katının 6 fazlası:  3z+6 

Bir sayının 6 fazlasının 3 katı: (z+6)3 

NOT: Yukarıdaki son iki ifade arasındaki farkı görmelisin. Sözel ifadenin bize verdiği sırayı takip ederek denklemi kurarız.

NOT: Soruları öncelikle tek bilinmeyen kullanarak çözmeye çalışırız. İki bilinmeyen kullanmak bazı sorularda işimizi zorlaştıracaktır:

Toplamları 20 olan iki sayı dendiğinde birinci sayıya a, ikinci sayıya 20-a diyebilirsin.

Soru ardışık 3 sayı dediğinde bu sayıları a-1, a, a+1 ya da b, b+1, b+2 olarak seçebilirsin. İlk gösterim ardışık sayıların toplamında bize kolaylık sağlayacağı için göstermek istedim.😊

Ardışık 3 çift sayı dediğinde n bir çift sayı olsun n, n+2, n+4 ya da n-2, n, n+2 olarak gösterebiliriz.

Oranları 3/5 olan iki sayı dendiğinde sayılardan birini 3a diğerini 5a olarak alabiliriz.

Denklem Kurma Örnekleri

Ayşe’nin parası Furkan’ın parasının 6 katıdır. Böyle bir soruda tek bilinmeyen kullanabiliriz. Ayşe’nin parası 6x ise Furkan’ın x kadar parası vardır.

Bir merdivenden ikişerli çıkılıyor ise adım sayısı, Basamak Sayısı / 2 kadardır. Yani 30 basamaklı bir merdiveni 2’şerli çıkarsam 15 adım atarak merdiveni çıkmış olurum.

Bir sınıfta öğrenciler sıralara 5’erli oturuyor. Sıra sayısına x diyelim. Öğrenci sayısı=5x olur.

4 yanlışın 1 doğruyu götürdüğü 70 soruluk bir sınavda 14 soruyu boş bırakan bir öğrenci toplam 41 net yapmıştır. Buna göre, bu öğrenci toplam kaç doğru cevap vermiştir?

Bir öğrencinin 14 soruyu boş bırakması demek bu öğrencinin 56 soru cevaplaması demektir. Doğu cevapladığı soru sayısı x olursa, yanlış cevapladığı soru sayısı 56-x olur. x’ten (56-x)/4’ü çıkararak net sayısına yani 41’e eşitliyoruz.

30 kişinin katıldığı bir etkinlikte herkes birbiriyle tokalaşırsa kaç tokalaşma gerçekleşir?

Herkes kendi dışında diğerleri ile tokalaşıyor. Yani n kişi (n-1) kişi ile tokalaşıyor. n.(n-1) tokalaşma olur. Ama tokalaşma karşılıklı olduğu için ikiye bölmeliyiz. Bu soruyu kombinasyon kullanarak da çözebilirsin. Tokalaşma sayısını n’nin 2’li kombinasyonu ile de bulabilirsin.

Problemler

TYT problemleri temelinde herhangi bir açıklamayı matematik diline iyi bir şekilde çevirebilmeyi gerektirir. Soruların çoğu denklemler, oran-orantı gibi temel öğretileri kullandırtmaya dayalı. Yani soruda okuduğun bilgileri bir denklem şeklinde yazabilmen, ya da okuduğun olalar arasında oran kuruyor olabilmen gerekir. Birkaç taktikle neler yapabileceğine birlikte göz atalım:

Problemler sorusu çözerken, tamamen konsantre olman gerekiyor. Çünkü sorular genelde uzun, hikaye gibi. Sorunun bir yerinde kopup okumayı bırakırsan çözüme ulaşman çok zor olur. Evde normal bir test çözerken bile süre tutup dikkatini vererek çözmeyi deneyebilirsin.

Soruyu okurken çizerek, yazarak, notlar alarak düşünmeni kolaylaştırmaya çalışabilirsin. Zihinden düşünerek yorum yapmak işleri zorlaştırabilir.

Soruyu çözerken, matematik diliyle çözmeye çalışmalısın. Yani bilinmeyen bir şeye “x” diyerek, diğer verilenleri onun cinsinden ifade ederek çözüme ulaşabilirsin. Daha önce de belirttiğimiz gibi sorular özünde temel matematiksel işlemleri gerektiriyor, senin bunları ifade edebiliyor olman gerekli.

En büyük taktiğimiz bol bol pratik yapmak. Problemler konusu bilgi gerektiren, ezberleyip yapabileceğin bir konu değil. Her gün biraz daha üzerine koyarak ilerlemen gerekiyor. Bunun için de bol bol soru tipi görmek şart.

Kesir Problemleri

Problemler konularında, örnekler genelde gerçek hayattan yola çıkılarak hazırlanır ve bizim de belli bir mantıkla bu problemi sonuca ulaştırmamız beklenir. Bu sorularda örüntüleri görmemiz, neyi neden bulduğumuzun farkında olmamız aslında sadece o soruyu çözmek için bize katkı sağlamaz, matematiği yaşamın bir parçası olarak görmemize ve günlük hayatımızda da sistemli bir şekilde düşünmemizi sağlar. Dolayısıyla Kesir Problemleri sorularını ezber yaparak değil, problemlerin mantığını kavrayarak nasıl çözebileceğimizi anlatmaya çalışacağım. 

·         Problemi dikkatlice okumalıyız. 

·         İstenenleri ve soruda verilenleri işaretlemeli ya da çözüm kağıdına not almalıyız. 

·         Bütün kesri ve sorudaki kesri temsil eden bir diyagram ya da tablo çizmeliyiz. 🚨 

·         Soruyu tekrar okumalı ve soruda verilenleri çizdiğimiz tablo/diyagramda göstermeliyiz. 

Şimdi, temel bir problem üstünden bu stratejilerimizi nasıl uyguladığımızı görelim: 

Örnek: Bir bahçedeki çiçeklerin yarısı menekşedir, diğer yarısının da 3/7’ü papatyadır. Papatyaların sayısı 99 olduğuna göre bu bahçede toplam kaç çiçek vardır?

Çözüm: 

Soruda verilenler: ½ menekşe, geriye kalanın 3/7’si papatya. Papatya sayısı 99.

Öncelikle ½ kesrini çizdik ve yarısını menekşe olarak ayırdık.  💐 (Açık pembe renkte)

Geriye kalan ½’yi de 7’ye ayırdık ve 3/7’i papatya olarak gösterdik. 🌼  (Mor renkte)

Tüm çiçeklerin sayısı=?

Eğer 3 birimlik papatyanın sayısı 99 ise, 1 birimlik papatya 33 eder. 7 birimlik papatyayı bulalım ki, tüm çiçeklerin yarısına ulaşabilelim. (Burada oran orantı bilgimizden de faydalandık.)

33×7= 231 (Tüm çiçeklerin yarısı)

231×2= 462 (Sonuca ulaştık.🎉)

Kesir Problemleri Hakkında Dikkat Etmen Gerekenler

Kesir ve rasyonel sayı kavramları çoğunlukla karıştırılan kavramlardır. Bu konuda kafanda herhangi bir soru işareti kalmaması için aralarındaki farkı da belirtmiş olalım:

Kesirler, rasyonel sayıları gösterme biçimleridir. Her bir rasyonel sayı, sınırsız sayıda değişik kesirle gösterilebilir. Yani, örnek verirsek ½ rasyonel sayısını ½, 2/4, 3/6,… kesirleriyle göstermek mümkündür. Güzel bilgi, değil mi? 😊

Karışım Problemleri

Karışım problemlerinde karşımıza çıkacak tek formül vardır. Bu formülü iyi anladığımız takdirde tüm sorulara uyarlayabiliriz. Formülümüzdeki saf maddeler kısmına alkol, tuz veya şeker miktarını yazmalıyız. Karışım kısmına ise saf madde + su miktarı yazılır örneğin tuzlu su, alkollü su veya şekerli su gibi.

Maddenin karışımdaki yüzdesi= SAF MADDE / KARIŞIM

Su Ekleme Problemleri

Su ekleme sorularında maddenin karışımdaki yüzdesini bulurken saf madde miktarı (pay) değişmez. Ama karışım (payda) artar. Payda artacağı için maddenin karışımdaki yüzdesinin azalacağı yorumunu da yapabiliriz.

Su Buharlaştırma Problemleri

Su buharlaştırma sorularında maddenin karışımdaki yüzdesini bulurken saf madde miktarı (pay) değişmez. Ama karışım (payda) azalır. Payda azalacağı için maddenin karışımdaki yüzdesinin artacağı yorumunu da yapabiliriz.

Yaş Problemleri

Yaş Problemleri İpuçları

Bir kişinin bugünkü yaşı x olsun.

T yıl sonraki yaşı x+T olur. 

T yıl önceki yaşı x-T olur. 

İki kişi arasındaki yaş farkı daima sabittir. Yılların değişimi bu farkı etkilemez.

n kişinin bugünkü yaş ortalaması k olsun. 

T yıl sonraki yaş ortalaması k+T olur. 

T yıl önceki yaş ortalaması k-T olur.

İki kişinin yaşları oranı yıllar geçtikçe aynı oranda kalmayacaktır.

2 kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2.T artar.

n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n.T artar.

🗝️Tablo Yöntemi 

İpuçlarımızı gördükten sonra şimdi sana bu konunun tüm sorularını sana çözdürecek altın yöntemimizi öğrenmeye hazırsın! Bu yöntemin adı Tablo Yöntemi. Şöyle ki, çözüm yaparken verilenleri ve istenenleri kişi-yaş şeklinde bir tabloya yazarsan bilgileri daha düzenli bir şekilde görmüş olursun. Bu sayede işlem hatası yapmanın önüne geçer ve daha kısa sürede sonuca ulaşabilirsin! 

Hareket Problemleri

Bir cismin sabit bir noktaya göre yerinin zamana göre değişiminin hareket olarak adlandırıldığını Fizik dersinin Hareket konusundan hatırlayabilirsin. Matematikte de tüm Problemler konularında faydalanacağımız temel oran orantı mantığıyla sorularda cismin hızını, konumunu veya aldığı yolu bulman istenebilir.

Önemli Formüller

Bu konudaki temel formülümüz 

x=V.t 

olarak aklında bulunsun. Peki, bu harfler neyi temsil ediyor?

Bu formülde x=Yol, V=Hız ve t=Zaman olarak bilinir.

Temel formülümüzden yola çıkarak hızı bulurken Yol / Zaman demek mümkündür. Yani, V = x / t 

Ortalama hız, alınan toplam yol miktarının toplam süreye bölünmesi ile bulunur. 

Hız, yol ve zaman arasında daima bir orantı vardır.

Hız, yol ile doğru orantılı ve zaman ile ters orantılıdır. 

Yol ile zaman doğru orantılıdır. 

Bir cismin V1 ve V2 hızları ile aldığı yollar eşit ise bu cismin ortalama hızını aşağıdaki formül ile buluruz:

Bir trenin bir tüneli geçmesi, trenin ön kısmının tünele girip arka kısmının tünelden çıktığı ana kadar geçen süredeki hareketini belirtir. Trenin boyu x metre, tünelin boyu da y metre ise bu tren tüneli geçtiğinde toplam x+y metre yol almış olur. 

Yüzde Problemleri

Yüzde Problemleri konusunun da kesirlerle ilişkisi yadsınamaz çünkü yüzde ifadesi, paydası 100 olan kesirler için kullanılır ve % sembolü ile gösterilmektedir. Bu sembol, yüzde kelimesinin ingilizce karşılığı olan “percent” kelimesinden gelmekteymiş ve önceleri “p 100”, “per” gibi kelimelerle kısaltılarak gösterilse de zaman içinde bu kısaltmalar da el yazılarında % işaretine evrilmiş.

Kar Zarar Problemleri

Kar Zarar Problemlerini çözerken de bu maddeleri hatırlamanda fayda var, ayrıca bu konunun temel bilgileri dolayısıyla oran-orantı kurma yeterliliğini isteyen sorularla çoğunlukla karşılaşacaksındır. Bu yazımızda, seni çözüme kolaylıkla götürecek birkaç detayı paylaşacağım. 

İpuçları

Kâr = Satış Fiyatı – Maliyet Fiyatı 

Zarar = Maliyet Fiyatı – Satış Fiyatı 

Kâr Yüzdesi = ( Kâr / Maliyet Fiyatı ).100

Bazı sorularda sonuca daha kolay ulaşmak için ürünün alış fiyatına 100a diyebilirsin.

Kümeler

Kitaplarda Kümeler, “İyi tanımlanmış nesne topluluğu” diye geçer. Peki iyi tanımlanmış ne demek? İyi tanımlanmış demek nesnel, yani kişiden kişiye değişmeyen, öznel olmayan demek. Mesela “Güzel şehirler” ifadesi bir küme belirtmez. Güzel şehir deyince herkesin aklına farklı farklı şehirler gelir. Yani öznel bir ifade olduğu için küme belirtmez. Fakat, “Haftanın günleri” ifadesi küme belirtir. Çünkü herkes için aynı ve 7 tanedir. (7 elemanlı bir kümedir)

·         Mesela 8  ∉ A dır. (8 elemanı değildir A’nın) 

·         4 ∈ A dır (4 elemanı A’dır)

·         s(A)=4’tür (2 tane 3 rakamı olduğundan bir tanesini alırız. İkisi birden alınmaz!) s(A)  A’nın eleman sayısı demektir.

Kümeler Gösteriliş Şekilleri

1.Liste yöntemi { } 

X= {a,b,{a,b},{z,y}} olsun. Gelin bu kümeyi inceleyelim:

s(X)=4’tür. ({a,b} bir eleman olarak sayılır.  {z,y} de bir eleman olarak sayılır.)

z ∉ X   çünkü z diye bir elemanımız yok!

2.Venn Şeması Yöntemi 

Evet resmimizi biraz inceleyelim. Görüldüğü gibi  bir A kümesi var ve A kümesinin elemanları (1,2,3,4,5)’den oluşuyor. Venn şemasında kümemizin elemanlarını kapalı bir eğri içerisine yazıyoruz. Bu kadar basit! 

3.Ortak Özellik  Yöntemi 

Kümelerin elemanları ortak bir özelliğe sahipse, kümenin bu ortak özellik yardımıyla ifade edilmesine ortak özellik yöntemi denir.

Mesela;  A={ x ∣ x<5, x ∈ Z+ (Pozitif tam sayılar) inceleyelim.

Burada söylenen ve istenen şey şudur. X pozitif tam sayılarımızdan olmak şartıyla  x sayımız5’ten küçük olmalı. Sence hangi elemanlar bunu sağlıyor? Bunun cevabını sana bırakıyorum ama  s(A)=4 yani A’nın eleman sayısının da 4 olduğu ipucunu vereyim.

---

Önemli Kavramlar

Eşit Küme: Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.   Eşit küme sembolümüz = işaretidir. Mesela; X={A,C,B}  ve Y={B,C,A} gibi iki kümemiz olsun. Bu kümeler eşit kümelerdir. Çünkü elemanları aynıdır. X=Y olarak gösterilir.

Denk Küme: Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir ≡  ile gösterilir. Mesela; A={1,3,5}  B={2,4,6} olarak iki adet kümemiz olsun. Görüldüğü gibi elemanlar farklı, eleman sayıları aynı.  s(A)=s(B)=3’tür. A≡B  olarak gösterilir.

Boş Küme: Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Örnek vermek gerekirse,A:{ilk harfi X olan Türkiye’de bulunan şehirler} gibi bir kümemiz olsun. Böyle bir şehir olmadığı için A kümesi boş kümedir. A=Ø  ya da A={ } ile gösterilir.

Not: {Ø} ve {0} boş küme DEĞİLLER!

Alt Küme:  Örnekle açıklamaya çalışayım.

A: {10’a kadar olan çift sayılar} yani A={0,2,4,6,8}

B:{6’ya kadar olan çift sayılar}  yani B={0,2,4}

B’deki her eleman A’da da var. B’ye A’nın alt kümesi denir.  B ⊂ A ile gösterilir.  (B alt kümesidir A’nın) 

Alt küme sayısı bulma: 2ⁿ

Özalt Küme: Bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerine o kümenin özalt kümesi denir.

Alt küme ve Özalt küme ile ilgili bazı özellikler:

Her küme kendisinin alt kümesidir   A ⊂ A

Boş küme her kümenin alt kümesidir Ø ⊂ A

(A ⊂ B ve B ⊂ A) ancak ve ancak A=B

(A ⊂ B ve B⊂ C) ise, A ⊂ C dir.

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n -1’dir.

Küme Problemleri

Küme Problemleri Örnekleri

Problem 1:  

Futbol ve tenis oyunlarından en az birini oynayanların oluşturduğu 30 kişilik grupta, 15 kişi futbol 22 kişi tenis oynadığına göre, kaç kişi her iki oyunu da oynamaktadır?

Bu soruyu çözmek için Venn Diyagramından faydalanacağız. 19. yy. İngiliz mantıkçısı John Venn’in bulduğu bu teknik iki ya da daha fazla kümeler arasındaki ilişkiyi birbirleriyle kesişen dairelerle geometrik olarak göstermemizi sağlar. 

Soldaki dairemiz Futbol oynayanları temsil etsin, sağdaki daire ise Tenis oynayanları temsil etsin. Bizden istenen kaç kişinin her iki oyunu da oynamakta olduğu, yani dairelerin kesişimidir. Bu bölgeyi taralı alan ile gösterdik. Bu kısma B diyelim. Futbol oynayan fakat tenis oynamayanların sayısı A olsun. Tenis oynayan fakat futbol oynamayanlar da C olarak yazılsın. 

A+B=15 (Toplam futbol oynayan sayısı)

B+C=22 (Toplam tenis oynayan sayısı) 

Yani, bu durumda A+B+B+C=15+22 olur. Bu da A+2B+C=37 demektir. Soruda bize grubun 30 kişilik olduğunu söylemişti. A+B+C=30 ifadesini bu cümleden kurarız. 

A+2B+C’den A+B+C çıktığında sadece B kalır, değil mi? O halde 37-30’dan B’nin 7 olduğunu buluruz. Dairelerin kesişiminde yani her iki oyunu da oynayanlar kümesinde 7 kişi vardır. 

Kartezyen Çarpım

Kartezyen Çarpım konusu altında yer alan kazanımlar aşağıdaki gibidir, bu konuya çalışırken aklının bir köşesinde olmasında fayda var:

İki kümenin kartezyen çarpımıyla ilgili işlemler yapar. 

 Sıralı ikili ve sıralı ikililerin eşitliği örneklerle açıklanır. 

Kartezyen çarpımın eleman sayısı buldurulur.

Sadece sonlu sayıda elemanı olan kümelerin kartezyen çarpımlarının grafik çizimi yapılır.

Kartezyen Çarpım Nedir?

A ve B kümeleri verildiğinde, birinci bileşeni A kümesinden ve ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulmuş tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye A kartezyen B kümesi denir, yapılan bu işleme de A ile B’nin kartezyen çarpımı denir ve AxB ile gösterilir. 

1. bileşenimizin A kümesinden, 2. bileşenimizin B kümesinden olmasına dikkat edelim, eğer 1. bileşeni B kümesinden ve 2. bileşeni A kümesinden alsaydık bu işlemi BxA olarak gösterecektik.

Örnek: A = {1, 2} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A×B ve B×A kümelerini yazınız.

Çözüm: Listeleme yöntemiyle istenen kümeleri gösterelim. Tüm ikilileri yazacağız, bu kadar basit! Daha rahat ayırt edebilmen için her bir sayıyı farklı renklerle yazdım. 

A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} 

B×A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

---

Önemli İpuçları: 

İki sıralı ikili birbirine eşit ise bu sıralı ikililerin aynı sıradaki bileşenleri eşittir. Yani:

(a,b) = (c,d) ise a =c ve b = d olmak zorundadır.

s(AxB) = s(BxA) = s(A).s(B) 

A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) 

A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)

A×(B – C) = (A×B) – (A×C)

A×A =A2, A×A×A =A3, … 

A(x,y) ϵ R2  ise bu noktanın birinci bileşenine noktanın apsisi, ikinci bileşenine ise noktanın ordinatı denir. Oluşan (x,y) ikilisine A’nın koordinatları denir. Kümelerin kartezyen çarpımlarının grafik çizimi yapılırken 1. bileşenler x koordinatına çizilir. (apsis) , 2. bileşenler ise y koordinatına çizilir. (ordinat)  

Fonksiyonlar

Fonksiyonlar Nedir?

Fonksiyon en basit haliyle eşleme demektir. İki farklı boş olmayan kümedeki elemanları birbiriyle çift, eş yapmaya fonksiyon deriz. Yalnız iki küme arasındaki her eşlemeler bütününe fonksiyon demiyoruz! Belirli eşlemelerin fonksiyon olabilmesi için bazı kurallarımız var:

İlk öncelikle elimizde bir A kümesi olsun ve biz A kümesinden B kümesine bir eşleme yapalım. Elimizdeki A kümesi bizim tanım kümemiz olacak, B kümesi ise değer kümemiz. A kümesindeki her eleman B kümesindeki elemanlara en az ve en çok bir kere eşleniyorsa buna fonksiyon diyoruz! Yani kısacası tanım kümesindeki her elemanın yalnız ve yalnız bir eşi olmalı! 

Diğer kuralları daha iyi anlaman için önce aşağıdaki görseli dikkatli incelemen gerekiyor:

Görselde dikkatini çekmesi gereken 4 şey vardı:

Gördüğün üzere A kümesindeki tüm elemanların yalnız ve yalnız bir eşi var ama B kümesindeki tüm elemanların eşi olmak zorunda değil !!! B kümesindeki “y” ve “k” elemanlarının eşi yok.

A kümesindeki “s” ve “d” elemanlarının eşi aynı: B kümesindeki “g” elemanı. Tanım kümesindeki bazı elamanların B kümesindeki eşleri aynı olabilir, sıkıntı yok!

Görselde A kümesinden B kümesine giden bir fonksiyon yazdık ve bu fonksiyonu

f: A 🡪 B veya f(x) = y , ∀x ∈ A ve y ∈ B şeklinde gösterdik. Fonksiyonlar genellikle f, g, h ve k harfleri ile gösterilir.

Yukarıda A’ dan B’ ye tanımlanmış olan f fonksiyonundaki eşlemeler:

f = {(s, g), (d, g), (e, j), (f, h)}   biçiminde gösterilir, ilk önce tanım kümesindeki eş sonra ise görüntü kümesindeki eş yazılır.

4. B kümesindeki elemanlardan A’da eşi olanlar görüntü kümesini oluşturur. Yani g, j, ve h elemanlarının oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir.

---

Fonksiyonlar Formülleri

Temeli sağlam attığımıza inanarak şimdi seninle ezberlenecek ama mantığı bakınca hemen anlaşılan bir formül vermek istiyoruz:

A kümesini eleman sayısına m diyelim, B kümesininkine de n. 

s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

A’dan B’ye nxm tane fonksiyon tanımlanabilir.

Fonksiyonlar konusu sorularda kurallara bağlı eşlemeler olarak gelir. Mesela:

f(x) = 2x+5 ise f(2) kaçtır?” 

gibi sorular görebilirsin. Bu ifade aslında şu demek: A kümesindeki her elemanı kendisinin 2 katının 5 fazlası ile eşle. Yani f(2) = 2.2 + 5 = 9 eder.  Soruda bizden f (x= 2) istediği için kuraldaki x gördüğümüz her yere 2 yazdığımızı fark etmen gerekiyor.

Fonksiyon Türleri

Fonksiyonlarla ilgili bilmen gereken diğer kritik nokta birden fazla fonksiyon tipi olduğu ve sorularda karşına bunların sıklıkla geleceği! Hazırsan fonksiyon türlerini anlatmaya başlayalım.

Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda tanım kümesindeki elemanların görüntüleri de birbirinden farklıysa buna bire bir fonksiyon deriz.  

Örten Fonksiyon

Görüntü kümesiyle değer kümesinin aynı olduğu fonksiyonlara örten fonksiyon deniyor, yani B kümemizde eşi olmayan eleman olmaması gerekiyor! 

Hem A kümesindeki her elamanın B de özel bir eşi var, hem de B kümesindeki her eleman A kümesinde bir eşe sahip bu yüzden fonksiyonumuz hem bire bir hem de örtendir.

İçine Fonksiyon

Değer kümesinde, yani B kümesinde, eşi olmayan eleman varsa bunu içine fonksiyon deriz.

Sabit Fonksiyon

Birim fonksiyonla birlikte hatırlaması en kolay olan fonksiyon sabit fonksiyondur. Basit olmasına rağmen test kitapları bol bol bu türün kullanıldığı sorular sorar! Sabit fonksiyonda A kümesindeki her bir eleman B kümesindeki tek bir elemana eştir. Sabit fonksiyon:  

∀x ∈ A ve c ∈ B için, f : A → B f(x) = c şeklinde tanımlanır. Buradaki “c” değeri sabit değeri ifade eder.

Birim Fonksiyon

Tanım kümesindeki her eleman B kümesinde kendisiyle eşlenirse buna birim fonksiyon deriz I ile gösteririz.

Çift ve Tek Fonksiyon

Çift fonksiyonlar f(x)’in f(-x)’e eşit olduğu fonksiyonlardır. Mesela f(2)’nin f(-2)’ye eşit olması gibi. Eğer f(x) -f(x)’e eşitse bu durumda da tek fonksiyon deriz.

Ters Fonksiyon

Fonksiyonlar konusunun çoğunu bitirdik ve hatta zor denebilecek kısmına geldik: Ters Fonksiyonlar. Ama zor diye kaçmak yok, konuyu bitirmek üzereyiz! 

Elimizde yukarıda bahsettiğimiz gibi birebir ve örten bir fonksiyon olması gerekiyor: şayet öyle bir fonksiyonumuz var ve f: A 🡪 B’ye tanımlanmışsa:

Tanım kümesini B, değer kümesini A olarak ters çevirerek ters fonksiyon elde edebiliriz.

Fonksiyonun tersi f-1: B → A, f-1(y) = x şeklinde gösterilir. 

Bileşke Fonksiyon

İki veya daha fazla fonksiyonu birleştirerek tek fonksiyon yapmaya bileşke fonksiyon denir.

Modüler Aritmetik

Modüler Aritmetik – Tekrar Eden Problemler

Günlük hayatta bazı olaylar belli zaman aralıklarında tekrar etmektedir. Örneğin, haftanın günleri her 7 günde bir tekrar eder ve hatta günlük yaşamımız da kendi zihnimizdeki bileşik zaman sisteminde belirli bir hormonel döngü içinde tekrarlanmaktadır.

Polinom

Polinom Hakkında Genel Bilgiler ve Formüller

n bir doğal sayı, a0, a1, a2, a3….a n gerçek sayılar olmak üzere

P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+….+anxn

şeklindeki ifadelere gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom denir. Polinomun sözlük anlamı da “çok terimli” demektir.

a0, a1, a2, a3….a n polinomun katsayılarıdır.

 Kat sayılar toplamı için bir polinomda x yerine 1 konulur.

a0, a1x, a2x2, a3x3….anxn  polinomun terimleridir.

x’in en büyük kuvveti olan doğal sayıya P(x) polinomunun derecesi denir.

x’in en büyük kuvveti olan doğal sayıya P(x) polinomunun derecesi denir.

a0 polinomun sabit sayısıdır.

Sabit terim için bir polinomda x yerine 0 konulur.

“Aşağıdakilerden hangisi polinomdur/polinom değildir?” sorularında polinom tanımı dikkate alınmalıdır.

P(x)=2x2+3√x +4   (√x=x1/2 ve 1/2 doğal sayı değildir. Yani P(x) polinom değildir.)❌

Q(x)=3x3+3/x+7    (3/x=3x-1  -1 doğal sayı olmadığı için polinom değildir.) ❌

K(x)= x2-2x-5    (Üs doğal sayı, katsayı reel sayı yani ifade polinomdur.)✔

x değişkeni bulundurmayan, c bir gerçek sayı olmak üzere P(x)=c polinomuna sabit polinom denir.

Örnek: P(x)=9, P(x)=163, P(x)=64…

Sıfır polinomu sabit polinomun özel halidir. P(x)=0 polinomuna sıfır polinomu denir.

Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı aşağıdaki formülle bulunur:

P(1) yazdığımız zaman hem tek hem çift dereceli terimlerin katsayıları toplamını buluruz.  P(-1) yazdığımız zaman ise çift dereceli terimlerin katsayılarını ve tek dereceli terimlerin eksi ile çarpılmış katsayıları toplamı bulunur. Bu nedenle P(1)-P(-1) yaptığımız zaman tek dereceli terimlerin katsayılarını iki kez toplamış oluyoruz. İşlemin sonunda bu farkı ikiye bölerek tek dereceli terimlerin katsayıları toplamına ulaşırız. İlk başta formül gibi görünse de nereden geldiğini anladığımız zaman kolaylıkla bulabileceğimiz bir işlemdir.

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı aşağıdaki formülle bulunur:

Bu işlemi de eğer unutursan yukarıda yaptığımız gibi düşünerek kolaylıkla çıkarabilirsin.

Polinom Dereceleri ile İlgili İşlemler

Polinomlar konusunda çalışmazsan zorlanabileceğin bir başlığa geldik. Polinomlarda işlem yaparken zorlanırsan Üslü Sayılar yazımı okumanı öneririm. Çünkü polinomlarda işlem yaparken üslü sayılar bilgilerimizi kullanıyoruz.

der[P(x)]=m, der[Q(x)]=n, m, n ve a, b, k birer gerçek sayı olmak üzere,

der[P(ax+b)]=m

der[P(x).Q(x)]=m+n

der[P(x)]k=m.k

der[P(x)+Q(x)]=m  der[P(x)-Q(x)]=m

der[P k(x)]=m.k

P(x) polinomunun (x-a) bölümünden kalan:

P(x) polinomunda x-a bölümünden elde edilen kalan, P(x) polinomunda x yerine a yazılarak bulunan P(a) değeridir.

NOT: Polinomlarda bölme işlemi yapmadan kalanı bulmak için böleni sıfır yapan kökü polinomda yerine yazmalıyız.

P(x) polinomunun (ax2+bx+c)  bölümünden kalan:

Genellikle sorularda hesaplamanın kolay olması için böleni çarpanlarına ayrılabilecek bir ifade verecektir. Böleni çarpanlarına ayırdıktan sonra yine x-a’daki gibi sıfıra eşitleyerek x yerine yazılır ve kalan olacak ax+b ye eşitlenir. İkinci dereceden bir ifadeye böldüğümüz için kalan birinci dereceden olabilir bu nedenle kalanı ax+b olarak alabiliriz.

İkinci Dereceden Denklemler

Öncelikle, 2. dereceden bir bilinmeyenli bir denklem derken kast ettiğimiz şeyi açıklamak ile başlayalım. Yukarıda bahsettiğimiz x bilmediğimiz ama bulmak istediğimiz şeyi ifade ediyor. Dikkat edilmesi gereken şey bulmak istediğimiz şey sadece x ile ifade edilmek zorunda değil y, t, z vb. birçok sembol ile ifade edilebilir! Kısacası soruları çözerken amacımız x’in ne olduğunu veya neler olabileceğini bulmak.

Sen de yukarıda verdiğimiz örnekte sadece bir bilinmeyenli bir denklem kullandığımızı artık fark etmişsindir. Şimdi de derece derken ne demek istediğimizden bahsedecek olursak; bir denklemin derecesi o denklemdeki bilinmeyenin aldığı en büyük üste göre belirlenir.  Örneğimizdeki 2x2-2x+1=0 ifadesinde x’in aldığı en büyük üst 2 olduğu için, denklemimiz 2. dereceden bir denklemdir.

2.dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin genel görüntüsü ise şu şekildedir:

ax2 + bx +c

2.dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözmek için birçok yöntem bulunuyor, biz ilk önce tüm soru tiplerinde kullanabileceğiniz diskriminant yöntemini anlatmak istedik.

Diskriminant Δ (delta) ile gösterilmekle birlikte formülü şu şekildedir:

ax2 + bx +c=0 denklemin diskriminantı Δ =b2– 4ac ile bulunur.

Göze biraz karışık gözüken bir formül gibi gelse de hemen “b kare eksi dört a c” diyerek ezberleyebilirsin! Formüldeki a, x2’nin önündeki sayıyı ifade ederken b ifadesi x’in önündeki sayıyı ve c ifadesi sabit bir sayıyı temsil eder.

Örnek: 4x2-16x+16 = 0 ifadesinin diskriminantı

Δ = b2 – 4ac

Δ =(16)2– 4.(4)(16)

Δ = 0 olarak bulunur.

Diskrimant İle İlgili Bilmen Gerekenler

Δ > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır ve bu kökler:

ifadesiyle bulunur. Birbirinden farklı olan iki kök x1 ve x2 olarak gösterilir.

Δ = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır.

Δ < 0 ise denklemin reel sayılarda çözümü yoktur. Yani deltayı sıfır bulduk mu bir şey yapmamıza gerek yok, rahat bir nefes alabiliriz!

Gördüğün gibi formülü ezbere bildikten sonra soruları çözmek çocuk oyuncağı. Bitirmeden bir formülden daha söz edelim. Köklerini biliyorsak denklemi kendimiz de yazabiliriz, nasıl mı?

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;

x2-(x1+x2)+x1.x2=0 şeklinde yazılır. Buradan işimize yarayacak iki sonuç çıkıyor. Bu formülleri de bilirsen soru kaçırmazsın!

Faktöriyel Nedir?

n, 1’den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1’den n’ye  kadar olan doğal sayıların çarpımına n’nin faktöriyeli veya kısaca n faktöriyel denir. (n!) biçiminde  gösterilir.

Faktöriyel sorularını çözerken hız kazanman için en azından yukarıdaki 5 faktöriyeli ezbere bilmeni öneririm. Böylelikle bu örnekler için teker teker sayıları yazıp çarpma işlemi yapmaya zaman harcamaktan kurtulmuş olursun. 

Olasılık

Kesin Olay, İmkansız Olay, Örnek Uzay kavramları 

Olması imkansız olan bir olay varsa, yani olasılığı %0 ise, buna “imkansız olay” denir. Eğer, bir eylem mutlaka gerçekleşecek ise, yani olasılığı %100 ise, buna da “kesin olay” denir.

Bir olay sonucunda da elde edilebilecek bütün sonuçları eleman kabul eden kümeye örnek uzay denir. E ile gösterilir. Bunu tüm ihtimallerin eleman olarak yazıldığı bir küme şeklinde düşünebilirsin.

Ayrık Olay & Bağımsız Olay

Aynı anda gerçekleşme olasılığı olmayan ve kesişimleri boş küme olan olaylara ayrık olaylar denir, bağımsız olaylar da A ve B gibi iki olay olması durumunda, B olayının belli olup A olayının gerçekleşme ihtimalinde herhangi bir etkiye sahip değilse gerçekleşir

Ayrık ve bağımsız olayları birbiriyle karıştırmayalım sakın!  Bu kavramlar genelde sık karıştırılan kavramlardır, unutmayın ki tanımları iyi bilmek sınavlarda soruları daha iyi anlamamızı sağlar. 📌

Tanımları kafamızda daha netleştirmek için ayrık, ayrık olmayan, bağımlı ve bağımsız olaylara örnekler verelim.

Bir madeni paranın atıldığında yazı ve tura gelme olasılığı -> Ayrık olay

Bir zarın atıldığında tek sayı ve asal sayı gelme olasılığı -> Ayrık olmayan olaylar

Bir zarın atıldığında asal sayı ve bir madeni paranın tura gelme olasılığı-> Bağımsız olaylar

Bir torbada 2 yeşil, 1 kırmızı top vardır. Çekilen top geri atılmamak koşuluyla art arda çekilen 2 topun yeşil renk olması -> Bağımlı olaylar

Kombinasyon

Kombinasyon tanımı nasıldır?

r ve n bir doğal sayı olsun. r ≤ n olmak üzere; n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine, bu n elemanın r’li bir kombinasyonu denir. C(n,r) şeklinde gösterilir. Bir diğer gösterimi de şu şekildedir:

 

n tane nesneden r tane nesneyi seçmenin formülü ise şöyledir:

Diziliş sırası sadece permütasyonda önemliydi ve r tane nesnenin r! şeklinde sıralandığını bir önceki yazımızda öğrenmiştik. Dolayısıyla permütasyon sayısını r!’e bölersek sadece seçme(kombinasyon) sayısını bulmuş oluruz. 

Pratik yol: n’den geriye doğru r tane sayıyı çarpıp r!’e bölebilirsin

Permütasyon

n pozitif tamsayı, r doğal sayı ve r < n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r’lilerine o kümenin r’li permütasyonu denir. Biraz karışık görünebilir, hemen daha anlaşılır hale getirelim: n tane farklı nesnemiz var. bu n tane nesneden r tanesini aynı anda seçiyor ve sıralıyoruz, yani sıralı r’li oluşturuyoruz, işte bu sıralamaya n’in r’li permütasyonu denir. n ve r boşluklarının yerine sayılar koyup cümleyi okuyunca ifade daha da anlaşılır olacak ✨ 

---

Bilmen Gereken Formüller:

n adet nesneyi n! farklı şekilde sıralayabiliriz. n taneden r tanesini de aynı anda seçmenin ve sıralamanın formülü aşağıdadır:

Pratik yoldan hesaplamak için n’den başlayan ve birer birer azalan r tane sayıyı çarpabilirsin. 

⭐ Permütasyon varsa nesnelerin diziliş sırası önemlidir!⭐

Bir önceki tanımımızda n tane farklı nesnemizin olduğunu belirtmiştik. Bu nesnelerden birbirinin tıpatıp aynısı olanlar varsa nasıl bir çözüm yolu geliştirmemiz gerekiyor? Bu aynı nesneler aralarında yer değiştirseler bile fark edemeyiz, dolayısıyla sıralamayı değiştiremezler. n tane nesneyi sıralarken n! adet farklı diziliş olduğunu öğrendik. Aynı nesnelerin kendi aralarındaki değişimini 1 olarak saymamız gerekir çünkü daha önceden belirttiğimiz gibi kendi aralarındaki değişim sıralamalara bir etki etmeyecektir. Bu aynı değişimlerin sayısının tüm duruma bölümünü alırsak 1 olarak saymış olacağız.

İstatistik

İstatistik çalışmaları sonucunda elde edilen bilgiler tablo ya da grafik üzerinde gösterilebilir, böylece bilgileri görsel olarak görüp daha kolay yorumlayabiliriz. Sorularda da senden grafikleri yorumlaman istenebilir, bu yazımızda müfredatta yer alan belli başlı istatistik terimlerinin anlamlarını öğrenecek ve grafik türlerini nasıl yorumlayacağını inceleyeceksin.

Sürekli ve Süreksiz Veriler nedir?

Süreklilik kavramı matematikte herhangi iki sayının ortasında daima üçüncü bir sayının olma durumu olarak ifade edilmektedir. Sürekli bir aralıkta tüm değerleri alabilen verilere sürekli veriler denir. Örneğin, kilomuz değişkendir ve herhangi iki sayı aralığında gösterilebilir. Süreksiz verilerde ise, sayısal bir değerle ifade edilen bir olay vardır ve bu veri tek bir sayıyla ifade edilebilir. “Şu anda kaç gazeteye abonesiniz?” sorusunun cevabı tektir ve bunun cevabı da süreksiz veri olacaktır fakat “Boyunuz ne kadar?” sorusunun cevabı boy kavramı değişken olabildiği için sürekli veri olarak sınıflandırılır. 

Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri nedir?

Ölçümler toplamının ölçüm sayısına bölünmesi bize “aritmetik ortalama”yı vermektedir. 

Dizinin terimleri büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan ve sondan eşit uzaklıktaki sayıya medyan ( ortanca ) denir.

Bir dizide en çok tekrarlanan sayıya mod (tepe değeri) denir. Veri grubunda her değer farklı ise mod bulunmaz.     

  Veri grubundaki en büyük ve en küçük değer arasındaki farka açıklık denir.          

Standart sapma dizideki her bir değerin aritmetik ortalamaya yakınlığını gösterir. Standart sapmanın küçük olması aritmetik ortalamadan sapmaların az olduğunu ve riskin az olduğunu, standart sapmanın büyük olması ise aritmetik ortalamadan sapmaların çok olduğunu ve riskin de fazla olduğunu gösterir.